Oméga
"Hasard et complexité en mathématiques" de Gregory Chaitin - Flammarion. J'aime les maths. Oui je sais, ça peut paraître un peu curieux, d'autant plus qu'il est de bon ton, même pour les plus éminents d'entre nous, de proclamer le contraire.
"Les maths ? alors ça je suis complètement NUL(LE)..."
Ceci étant, la répartie classique peut se comprendre quand on pense à la façon dont a été enseignée cette discipline depuis déjà de nombreuses années. L'erreur fondamentale étant de présenter la chose comme un monument parfaitement achevé, rigide, austère, impressionnant, sans nulle place pour la fantaisie et l'imagination.
Or j'ose émettre l'hypothèse que ceci est totalement faux. L'image qu'ont donné les maths n'est en fait que l'écho de l'air du temps, à savoir pour ces cinquante dernières années, le reflet du totalitarisme type soviétique qui a longtemps imprégné les esprits et dont nous commençons tout juste à nous défaire.
Car cette discipline, loin d'être quelque chose d'éthéré, de décourageant et parfaitement inaccessible a en fait toujours parfaitement vécu en parfaire symbiose avec son époque. Et contrairement à ce que l'on a coutume de penser, les maths sont une discipline extraordinairement dynamique, siège de nombreuses et prodigieuses inventions, dont certaines très récentes. Sait-on par exemple que l'on y a fait plus de découvertes au XXème siècle que dans toute l'histoire antérieure de l'humanité. A-t-on conscience que deux des conjectures les plus célèbres (*) énoncées depuis plusieurs siècles ont été résolues ces vingt dernières années ?
J'aimerais donc qu'on mettre fin une fois pour toutes à cet état de fait. Point n'est besoin d'être doué en maths pour les aimer, de la même manière qu'on peut apprécier jouer au tennis entre copains sans pour autant viser la finale de Roland-Garros...
Après cette longue élucubration introductive (qui n'est pas sans rapport avec la suite, quand même), j'aimerais parler du bouquin. Sans rentrer dans une longue exégèse, on peut dire qu'il est en fait question de la richesse vertigineuse des nombres réels : oui les nombres type 2,1897653... qu'on peut écrire avant autant de précision qu'on veut en augmentant le nombre des décimales, à l'opposé des nombres entiers : 1, 2, 3,... n, ou encore des fractions type p/q.
La démarche de Gregory Chaitin est basée sur la théorie algorithmique de l'information. En gros, le concept repose sur la fait que, plus un nombre est particulier, plus le programme qui permet de le décrire est court et inversement, plus celui-ci est "quelconque" et plus le programme est long, le cas extrême étant celui où le nombre en question ne peut être décrit autrement qu'un énumérant une à une chacune de ses décimales. Pour être plus concret, on pourrait faire l'analogie avec les images que l'on obtient avec les appareils photos numériques actuels. Certaines, qui représentent des motifs répétitifs peuvent être décrites (et compressées) facilement via des algorithmes adaptés ; d'autres, plus aléatoires, ou complexes, sont réfractaires à ce type de traitement. Quels sont donc ces nombres "quelconques" ? En fait la démarche permet de montrer qu'ils sont une écrasante majorité, et même statistiquement 100% en proportion. Ces nombres ayant l'étrange propriété d'être particulièrement insaisissables, à se demander s'ils existent vraiment. Pourtant il s'agit de nombres... réels. Magie du paradoxe.
A la lecture du livre, au fera au passage tout un tas de découvertes plus étranges les unes que les autres : ainsi, alors que des générations de mathématiciens s'étaient escrimés, aux prix de difficultés techniques considérables, à démontrer que certains réels tels que e (2, 7182818...) ou pi (3,141592...) étaient transcendants (c'est à dire solution d'aucune équation algébrique), il s'avère que (100% des réels sont transcendants. Le point d'orgue, consiste bien sûr en l'introduction du concept du nombre Oméga, rigoureusement incalculable, incompressible (au sens de la compression de l'information comme dans une photo JPEG) et irréductible, qui résume en quoi certains objets ou faits "vrais par hasard" semblent définitivement échapper à notre perception.
Contrairement à ce que leur nom indique, les nombres réels s'avèrent décidément bien évanescents, et il y a chez eux quelque chose qui dépasse notre entendement. Est-ce au demeurant si étonnant que cela ? La dualité réel/entier, à rapprocher de celle continu/discret, ou encore de celle analogique/numérique ne s'est-elle pas soldée par la victoire écrasante (et provisoire ?) du numérique qui, du fonctionnement (binaire comme le 0 et le 1) de notre ordinateur, à notre système de numération (décimal comme nos dix doigts), en passant par le codage du fonctionnement des êtres vivants (en base 4 comme les différentes bases constitutives de nos gènes) semble désormais régir le monde.
Les maths en rapport étroit avec la réalité donc.
(*) il s'agit du Grand théorème de Fermat, énoncé pour la première fois en 1670, et finalement démontré en... 1994 après plus de trois siècles de recherches infructueuses, et la conjecture de Poincaré, énoncée en 1904 et finalement démontrée en 2003.
"Les maths ? alors ça je suis complètement NUL(LE)..."
Ceci étant, la répartie classique peut se comprendre quand on pense à la façon dont a été enseignée cette discipline depuis déjà de nombreuses années. L'erreur fondamentale étant de présenter la chose comme un monument parfaitement achevé, rigide, austère, impressionnant, sans nulle place pour la fantaisie et l'imagination.
Or j'ose émettre l'hypothèse que ceci est totalement faux. L'image qu'ont donné les maths n'est en fait que l'écho de l'air du temps, à savoir pour ces cinquante dernières années, le reflet du totalitarisme type soviétique qui a longtemps imprégné les esprits et dont nous commençons tout juste à nous défaire.
Car cette discipline, loin d'être quelque chose d'éthéré, de décourageant et parfaitement inaccessible a en fait toujours parfaitement vécu en parfaire symbiose avec son époque. Et contrairement à ce que l'on a coutume de penser, les maths sont une discipline extraordinairement dynamique, siège de nombreuses et prodigieuses inventions, dont certaines très récentes. Sait-on par exemple que l'on y a fait plus de découvertes au XXème siècle que dans toute l'histoire antérieure de l'humanité. A-t-on conscience que deux des conjectures les plus célèbres (*) énoncées depuis plusieurs siècles ont été résolues ces vingt dernières années ?
J'aimerais donc qu'on mettre fin une fois pour toutes à cet état de fait. Point n'est besoin d'être doué en maths pour les aimer, de la même manière qu'on peut apprécier jouer au tennis entre copains sans pour autant viser la finale de Roland-Garros...
Après cette longue élucubration introductive (qui n'est pas sans rapport avec la suite, quand même), j'aimerais parler du bouquin. Sans rentrer dans une longue exégèse, on peut dire qu'il est en fait question de la richesse vertigineuse des nombres réels : oui les nombres type 2,1897653... qu'on peut écrire avant autant de précision qu'on veut en augmentant le nombre des décimales, à l'opposé des nombres entiers : 1, 2, 3,... n, ou encore des fractions type p/q.
La démarche de Gregory Chaitin est basée sur la théorie algorithmique de l'information. En gros, le concept repose sur la fait que, plus un nombre est particulier, plus le programme qui permet de le décrire est court et inversement, plus celui-ci est "quelconque" et plus le programme est long, le cas extrême étant celui où le nombre en question ne peut être décrit autrement qu'un énumérant une à une chacune de ses décimales. Pour être plus concret, on pourrait faire l'analogie avec les images que l'on obtient avec les appareils photos numériques actuels. Certaines, qui représentent des motifs répétitifs peuvent être décrites (et compressées) facilement via des algorithmes adaptés ; d'autres, plus aléatoires, ou complexes, sont réfractaires à ce type de traitement. Quels sont donc ces nombres "quelconques" ? En fait la démarche permet de montrer qu'ils sont une écrasante majorité, et même statistiquement 100% en proportion. Ces nombres ayant l'étrange propriété d'être particulièrement insaisissables, à se demander s'ils existent vraiment. Pourtant il s'agit de nombres... réels. Magie du paradoxe.
A la lecture du livre, au fera au passage tout un tas de découvertes plus étranges les unes que les autres : ainsi, alors que des générations de mathématiciens s'étaient escrimés, aux prix de difficultés techniques considérables, à démontrer que certains réels tels que e (2, 7182818...) ou pi (3,141592...) étaient transcendants (c'est à dire solution d'aucune équation algébrique), il s'avère que (100% des réels sont transcendants. Le point d'orgue, consiste bien sûr en l'introduction du concept du nombre Oméga, rigoureusement incalculable, incompressible (au sens de la compression de l'information comme dans une photo JPEG) et irréductible, qui résume en quoi certains objets ou faits "vrais par hasard" semblent définitivement échapper à notre perception.
Contrairement à ce que leur nom indique, les nombres réels s'avèrent décidément bien évanescents, et il y a chez eux quelque chose qui dépasse notre entendement. Est-ce au demeurant si étonnant que cela ? La dualité réel/entier, à rapprocher de celle continu/discret, ou encore de celle analogique/numérique ne s'est-elle pas soldée par la victoire écrasante (et provisoire ?) du numérique qui, du fonctionnement (binaire comme le 0 et le 1) de notre ordinateur, à notre système de numération (décimal comme nos dix doigts), en passant par le codage du fonctionnement des êtres vivants (en base 4 comme les différentes bases constitutives de nos gènes) semble désormais régir le monde.
Les maths en rapport étroit avec la réalité donc.
(*) il s'agit du Grand théorème de Fermat, énoncé pour la première fois en 1670, et finalement démontré en... 1994 après plus de trois siècles de recherches infructueuses, et la conjecture de Poincaré, énoncée en 1904 et finalement démontrée en 2003.